Täydellisen kolmion idea

Olen ärsyyntynyt ihmisten tietämättömyydestä erityisesti matematiikan suhteen. Se ei
olisi niin ärsyttävää, jos ihmiset pysyisivät hiljaa, mutta kun kirjoissakin tapaa mitä pahempia väärinkäsityksiä. Mustalle listalleni ovat joutuneet kaikki teologi-luennoitsijat, jotka ovat avanneet suunsa matematiikan suhteen, ja Alister McGrath:n kirja Kristillisen uskon perusteet. Puolustuksena syytetyille totean, etteivät heidän matematiikkaa sivunneet huomautukset olleet kovinkaan olennaisia muun sisällön kannalta.

Silti teen nyt selkoa siitä, mitä kuuluisa "täydellinon kolmio" voi tarkoittaa ja siitä, missä mielessä kyseinen idea edes on olemassa. Lähestymistapani on lähinnä loogiseen päättelyyn perustuva ja pyrin välttämään liiallista matemaattisuutta. Loppu puolella puhun myös lyhyesti, onko "matematiikka" totta.

Filosofiassa on totuttu käyttämään kolmiota ja ympyrää klassisina esimerkkeinä täydellisistä ideoista, joilla on jotain käsitteellisiä ominaisuuksia. Kolmion ideaan
liittyy esimerkiksi suoraan (mukamas), että sen kulmien summa on 180 astetta. Olisi
siis ristiriitaista sanoa, että "olkoon kolmion kulmien summa 270 astetta!". Palaamme tuohon väitteeseen pian.

Ajatus kolmion täydellisyydestä juontaa mahdollisesti siihen ajatukseen, että klassinen geometria Euclideen Elementasta eteenpäin on täydellinen mielen konstruktio, joka puhuu absoluuttisista totuuksista. Onhan se hieno kaikinpuolin, mutta kritisoisin esimerkiksi Descartesia ja Leibnizia, jotka ottivat geometrisen
esitystavan ideaalikseen.

Erityisesti kritisoisin Alister McGrathia, kun hän perusteettomasti väittää, että epäeuklidisten geometrioiden (vaihtoehtoisten geometrioiden) löytäminen olisi johtanut täsmällisen päättelyn tuhoon. On the countrary: Geometrian täydellisempi ymmärrys 1700-1800-luvuilla oli osa suurempaa kehitystä, jossa päästiin aidosti täsmälliseen matematiikkaan. Lisäksi geometrinen päättely on vain esimerkki tästä formaalista eli täsmällisestä päättelyistä, joita filosofia ja ihmis mieli ovat aina kautta aikain käyttäneet. Siten Descartes ja Leibniz kenties ihannoivat geometriaa esimerkkinä tällaisesta päättelyrakennelmasta, mutta se on vian esimerkki oletuksista johtopäätöksiin johtavasta päättelystä.

Siis olemme päätyneet siihen havaintoon, ettei geometria ole mitään erikoista. Se
on oikeastaan vain kasa oletuksia, jotka Matti Lehtisen prujussa (http://www.elisanet.fi/matti.t.Lehtinen/geom2006.pdf) ovat esitetty seuraavasti (Olen hieman yksinkertaistanut määritelmiä, niin että ne eivät ole täysin täsmällisiä, mutta idea välittyy lukijalle.):

Aksiooma 1. Jokaisen kahden pisteen kautta kulkee yksi, ja vain yksi, suora

Aksiooma 2. Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä ja (koko) tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.

Aksiooma 3. Jos B on A:n ja C:n välissä, niin A,B ja C ovat samalla suoralla AC ja
A on C:n ja A:n välissä.

Aksiooma 4. Jos A,B ovat pisteitä niin on piste C suoralla AB, jolle B on A:n ja C:n välissä.

Aksiooma 5. Jos A,B,C ovat saman suoran pisteitä, niin vain yksi voi olla muiden kahden välissä.

Aksiooma 6. (Paschin aksiooma). Kolmion yhden sivun leikkaava suora, jolla ei ole
yhtään kolmion kärkeä, leikkaa myös toista sivua.

Aksioomat 7-12. En esittele näitä tarkemmin. Sisältö on, että voimme siirtää tasossa janoja ja kulmia. Lisäksi voimme määritellä kulman ja kolmioiden yhdenmuotoisuuden eli sen milloin kaksi kolmiota näyttää samalta.

Seuraavaan aksiomaan on liittynyt suurin määrä keskustelua ja se ehkä eniten liittyy keskusteluun täydellisestä kolmiosta. Tarkkasilmäinen lukija saattaa nimittäin jo havaita, ettemme pysty yllä olevista aksioomista todistamaan, että kolmion kulmien summa olisi 180 astetta.

Se ei myöskään päde, edes meidän asuttamassamme maailmassa. Nimittäin otettakoon seuraava (iso) kolmio. Sen yksi kärki on pohjoisnavalla ja sen kaksi muuta kärkeä päiväntasaajalla. Tällaisen kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta ja voi olla mitä tahansa 180:n asteen ja 360:n asteen väliltä (ei kuitenkaan kumpaakaan näistä, mikä selviää, kun katsot, minkälaisia kuvioita näin muodostuisi). On tosin
myönnettävä, ettei pallon geometria toteuta aksioomia 1-12, mutta on olemassa toinen geometria, jossa kolmion kulmien summa on alle 180 astetta (nk. hyperbolinen geometria), joka toteuttaa myös aksioomat 1-12.

Mistä sitten tulee myytti, että kolmion käsitteeseen sisältyisi sen kulmien summa? Se johtuu siitä, että kouluissa ja yleisesti puhutaan tasoista, ei palloista. Maapallo on taas (noin suurinpiirtein) pallo ja avaruuskin jotain ihan omalaatuista. Meidän pitää olettaa vielä jotain lisää, että saisimme kolmion kulmien summiksi 180 astetta.

Tämä selvisi vasta 1700-800-luvuilla, kun havaittiin, että seuraavaa asiaa ei voida todistaa yllä esitetyistä oletuksista:

Aksiooma 13. (Playfairin aksiooma) Jos a on suora ja A piste (ei a:n piste), niin on olemassa vain yksi suora b, jolle A kuuluu ja joka on yhdensuuntainen a:n kanssa.

Tätä kutsutaan nk. paralleeliaksioomaksi, koska se koskee yhdensuuntaisia eli paralleelisia suoria. Yhdensuuntaisuus tarkoittaa, etteivät suorat leikkaa. Nyt voisimme (vasta nyt) todistaa, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Siis kolmion idea sinänsä (joka sisältää vian kolme pistettä ja niiden välissä olevat pisteet) ei riitä tähän. Vain nk. euklidissa geometrioissa, joissa Playfairin aksiooma pätee, saamme todistettua tämän (no varmasti muuallakin, mutta aksioomien 1-12 kanssa, kun kaikkien kolmioiden summa on 180 astetta niin Playfairin aksiooma pätee).

Nyt siihen, mitä McGrath luuli tuhonneen geometrian, nimittäin aksiooman 13 vaihtoehdot. Huomasimme jo, että pallon pinnalla (elliptisessä geometriassa) kolmioiden kulmien summat ovat enemmän kuin 180 astetta. Näissä meidän täytyy muokata oletuksia 1-12 myös. Mutta voimme korvata oletuksen 13 seuraavalla:

Aksiooma 13'. On olemassa äärettömän monta yhdensuuntaista suoraa a:lle pisteen A kautta, kun A ei ole a:n piste.

Tällöin päädymme hyperbolisiin geometrioihin, jotka ovat täysin tosia ja hyviä geometrioita, vaikka McGrath luulee, että nämä jotenkin pilasivat klassisen geometrian. Uudet geometriat osoittivat vain, että aksiooma 13 on riippumaton aijemmista 1-12 ja sen lisäksi on olemassa muitakin ''mielekkäitä'' geometrioita. Kysymys on kuten matematiikassa yleensäkkin siitä, että eri oletuksilla saamme erilaisia struktuureita, jotka kaikki voivat olla yhtä mielekkäitä. Toisaalta matematiikan päättely lähtee aina perimmäisistä oletuksista eli aksioomista, eli sen totuusväittämien luonne on seuraava: "Jos A, niin B", eikä niinkään "B on tosi". Siis matematiikka puhuu loogisistä päätelmistä ja oletuksien välttämättömistä seurauksista. Siis käytännössä:

''Jos geometriamme toteuttaa aksioomat 1-13, niin on välttämätöntä, että sen kolmioiden kulmien summa on 180 astetta.'' On tosi väite, mutta seuraava ei ole

''Kolmion kulmien summa on 180 astetta.''

Voimme tosin kysyä, ovatko aksioomamme tosia. Jos aksioomat ovat ''tosia'' sanan tietoteoreettisessa mielessä (eikä loogisessa mielessä), niin päätelmäkin on tosi. Geometrian aksioomat eivät koske todellisuutta sinänsä, vaan sisältävät tietynlaisen mallin todellisuudelle. Siten mielestäni ei ole kiinnostavaa, kysyä onko geometria tosi. En varsinkaan pidä aksioomaa 13 havaintojeni mukaisena, joten sanona, että "geometria ei ole totta". Noin periaatteessa voisin pitää aksioomia 2-12 tosina ja aksioomasta 1 voisin keskustella.

Nyt herää laajempi kysymys (mikä analyysistä innostuneelle on paljon kiinnostavampi): Onko Principia Mathematica tosi?

Principia Mathematica on siis 1900-luvun alkupuolella kirjoitettu kolmiosainen teos, jonka oli tarkoitus olla koko matematiikan perusta. Se onkin onnistunut tässä, sillä se on (tosin eri tavalla muotoiltuna ja muokattuna) koko nyky matematiikan perusta. Gödel havahdutti maailman, matematiikan, filosofian ja koko todellisuuden perustan (sallikaa minun liioitella) todistamalla: Principia ei voi olla sekä täydellinen, että ristiriidaton! Eli koskaan emme voi kaikkea todistaa todeksi tai epätodeksi (mikä voidaan hyvin muotoilla) tai sitten Principia on ristiriitainen...

Sinänsä Gödelin havainnot antavat valoa kysymyksiin Principian todenmukaisuudesta, mutta toinen lähestymistapa on tarkastella on: Onko Principia Mathematica intuitiivinen? Kuinka moni tunnustaisi seuraavat väitteet tosiksi (esimerkkejä oletuksista, jotka olen yksinkertaistanut)? (oma mielipiteeni ja ''perusteluni'' on suluissa)

1. On olemassa tyhjä joukko eli joukko, joka ei sisällä mitään.
(TOSI: Eikö ole tyhjiä huoneitakin...)
2. Kahdelle joukolle on olemassa joukko, joka sisältää ne.
(TOSI: Onhan olemassa avioparejakin...)
3. Jos n on luku ja n+1 on myös luku, niin on olemassa joukko N, joka sisältää 0:n ja jokaiselle sen alkiolle n, n+1 kuuluu N:ään. Eli luonnolliset luvut ovat olemassa.
(TOSI: Sano mielivaltainen luku ja minä sanon suuremman. Miksi siis emme voisi koota kaikkia lukuja yhteen?)
4. Jos X on joukko, niin on sen kaikkien osajoukkojen joukko.
(TOSI: Voinhan muodostaa ihmistenkin kaikki mahdolliset ryhmät. Miksi en voisi käsitellä niitä yhdessä?)
5. Jos X on kokoelma joukkoja (X:n alkiot ovat joukkoja), niin on olemassa joukko A, joka sisältää kustakin X:n joukosta alkion.
(Kallistun Toden puolelle, koska kyse on vain äärellisen päätelmän yleistyksestä. Voin tehdä tämän, jos X on äärellinen. Miksi en silloin, kun X on ääretön?)

Tuossa oli muutamia keskeisiä ja 5. oletus onkin oikeastaan kiistanalaisin. Sitä kutsutaan valinta-aksioomaksi. Nämä oletukset ovat mielestäni intuitiivisia ja kaikkien ihmisten hyväksyttävissä, joten niistä johdetut asiat ovat tosia. Siten voin sanoa, että molemmat seruaavista ovat tosia:

"Principia Mathematicasta seuraa, että jatkuvan funktion väliarvolause on tosi."

"Principia Mathematica on tosi."

Oikeastaan tästä voisin päätellä seuraavaa:

"Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tosi." ja laajemmin
"Analyysi on totta!"

Tässä kohtaa myönnän, että minulla on tässä suurikokoinen oma lehmä ojassa. Olen kiinnostunut analyysistä ja siten onhan se mukavaa, että se on absoluuttista totuutta. No voin tyytyä myös siihen, että se on välttämätön seuraus intuitiivisista asioista...