Mitä matematiikka on?

Haluan esittää muutamia pohdintojani matematiikasta ja näyttää jotain välähdyksiä sen kauneudesta ja todellisesta luonnosta. Nostan hattua sille, joka jaksaa lukea tekstini läpi. Se on kovin pitkä. Jos sinulla on kiire, lue vain seuraavat 3 kappaletta ja viimeinen kappale.

Useat luulevat, suuresti erehtyen, että matematiikka olisi jotain laskemista. Tämä on luonnollista. Koulussa opimme vain "10+12=22", "kasvavan ja derivoituvan funktion derivaatta on ei-negatiivinen" jne. Kaikki on laskemista. Kolmioista lasketaan alat, ruokakulujen kasvu inflaation seurauksena lasketaan, omenoiden demokraattinen jako ihmisten välillä jne.

Hyvä on, tämä on matematiikkaa sanan tietyssä (hyvin kapeassa) merkityksessä. Moni kuitenkin kysyy, että miksi näin on? Mitä nämä laskut tarkoittavat? Miksi niistä on jotain hyötyä? Tässä tulemme siihen, mitä itse pidän aitona matematiikkana. Matematiikka, jossa ei lasketa yhtikäs mitään. Nimittäin pelkillä laskuilla emme voi ymmärtää, miksi "10+12=12+10" tai miksi "summan derivaatta on derivaattojen summa". Lasku on prosessi, jonka taustalla on tietty looginen rakenne, jonka matematiikka pyrkii tavoittamaan, ymmärtämään ja kuvaamaan.

Tässä on tullut jo muutama asia matematiikasta: se tutkii laskennan ja laskettavien prinsiippejä, se on loogista, se tarkastelee asioita logiikan kielellä ja tavoittelee laskennan ymmärtämistä ja kehittämistä. Lisäksi voisi tehdä pitkällisen analyysin tästä "loogisesta kielestä", johon en itse ole riittävästi perehtynyt. Tiivistetysti on kuitenkin kyse aksioomista ja formaalista logiikasta, joka perimmiltään vastaa intuitiotamme maailmasta. Lisäksi on kyllä huomioitava, että kaikki matematiikka ei edes tavoittele laskentaan liittymistä, koska asialla voi olla puhdas teoreettinen kiinnostus. Mutta periaatteessa kaikki on lähtenyt laskennasta ja sen ymmärtämisestä.

Nyt otamme esimerkin, miten matemaatikko voisi toimia. Tarkastellaan maailmaa. Meillä on
omenoita, kiviä ja puita. Meillä voi olla 0,1,2,3,4... puita tai omenoita tai mitä vaan. Lisäksi voi olla toki puolikkaita omenoita, neljäsosa omenoita ... Toisaalta jos on a määrä omenoita ja b määrä omenoita, niin yhdistämällä nämä on a+b määrä omenoita jne. Näin kuvailemalla maailmaa oikeastaan luomme matemaattista struktuuria, jota kutsutaan kunnaksi ja erityistapauksena reaaliluvuiksi/rationaaliluvuiksi.

Näin matemaatikkokin toimii, hän luo intuition kuvattavasta ilmiöstä ensin. Sitten havaitsemme, että kuvaamamme ilmiöllä on erilaisia muuttujia, joilla on erilaisia suhteita. Nämä on kuvattava ymmärtääksemme kohdettamme. Reaaliluvuilla pätisi seuraavat lait:

1) a+b=b+a
2) a*b=b*a
3) 1*a=a*1=a
4) (a*b)*c=a*(b*c)
5) a+(b+c)=(a+b)+c
6) a*(b+c)=a*b+a*c
7) 0+a=a+0=a
8) jokaiselle a on olemassa b, jolle a+b=0
9) jokaiselle a on olemassa b, jolle a*b=1

Lisäksi pätee seuraavaa:

10) Kun a < b ja b < c, niin a < c
11) Aina joko a < b tai a=b tai b < a
12) Kun 0 < a ja 0 < b, niin 0 < a*b
13) Kun 0 < a ja 0 < b, niin 0 < a+b
14) Kun a < b, niin 0 < b-a. Kun 0 < b-a, niin a < b.

Lisäksi reaaliluvuille tarvitaan pieni lisäaksiooma (tai ei niin pieni):

15) Jos on joukko A reaalilukuja ja kaikille A:n alkioille pätee a < m, jollekin reaaliluvulle m, niin
on olemassa pienin sellainen m, joka toteuttaa kuvatun ehdon.

Tämä on hieman abstrakti ja ehkä tuntuu epäintuitiiviselta, mutta on keskeinen. Mutta nyt olemme kuvanneet kaiken olennaisen reaaliluvuista. Nyt matemaatikko alkaa tutkia joukkoja, jotka toteuttavat kuvatut ehdot 1-15. Matemaatikko joutuu kuitenkin huomaamaan, että tätä joukkoa voi lähestyä monella tavalla. Annamme tässä esimerkin asiasta.

Kuvattu joukkomme on ylinumeroituva. Tämän ehdon voi todistaa esimerkiksi kolmella tavalla, joissa kukin päätyy samaan tulokseen, mutta kolmella täysin eri tavalla. Ensimmäinen, ja klassisin, tutkii reaalilukuja joukkona ja soveltaa välin [0,1] reaaliluvuille Cantorin diagonaaliperiaatetta. Reaaliluvut ovat siis joukko, jonka alkioilla on tietynlainen esitys.

Huomionarvoista tässä todistuksessa on, että meitä ei kiinnosta a) reaalilukujen laskutoimitukset tai b) niiden järjestys. Emme oikeastaan ole kiinnostuneet aksioomista 1-15. Olemme vain kiinnostuneet siitä, että voimme ESITTÄÄ reaaliluvut jotenkin. Näkökulma on siis siinä, että miltä reaaliluku näyttää.

Toisaalta voimme tarkastella reaalilukuja niiden "muodon" kautta. Tätä kutsutaan topologiaksi. Tällöin saamme, että reaaliluvut ovat täydellinen metrinen avaruus, jolla yksiöt eivät ole avoimia. Tällöin sen pitää olla ylinumeroituva. Tämä todistus on melko suoraviivainen, kun todistamme, että täydelliset metriset avaruudet ovat (Bairen) 2. kategoriaa. Myönnän, ettei tämä todistus ole kovin yksinkertainen tahi elementaarinen. En esitä tarkempia yksityiskohtia tässä.

Kolmaalta voimme tarkastella reaalilukuja kokoelmana tietynlaisia "mitallisia", joukkoja, joita voidaan mitata hauskalla tavalla. Tällöin ilmenee, että reaalilukujen joukon mitta on ääretön, mutta numeroituvat joukot ovat aina todella pieniä, eli nolla-mitallisia.

Huomaamme, että näissä kolmessa tilanteessa ei suoraan käytetä mitään kuvatuista ominaisuuksista 1-15, mutta näitä voidaan hyödyntää niiden todistamisessa. Toisaalta havaitsemme, että reaalilukuja voi tarkastella hyvin erilaisista näkökulmista. Tässä mielessä matematiikka on humanistinen tiede: meilläkin on näkökulmia ja teorioita.

Reaalilukuja voi lisäksi tarkastella pelkästään ominaisuuksien 1-9 kautta, eli sellaisena eliönä, jolla on kaksi laskutoimitusta. Tällainen on oikeastaan kunta. Pian havaitsemme kuitenkin, että nämä eivät kuvaa mitenkään joukon "kokoa", koska esimerkiksi numeroituvat rationaaliluvut tai algebralliset luvut ovat kuntia. Tässä on esimerkki metamatemaattisesta päätelmästä, jotka ovat minun mielestäni itse matematiikan ytimessä. Metamatemaattiset päätelmät ovat ne perusprinsiipit jotka transsendoivat matematiikkaa ja yhdistävät sen eri alat toisiinsa ja jotka
yhdistävät erilaisia tarkastelutapoja, näkökulmia ja toimintamuotoja.

Matematiikka, pohtiessaan hyvin muotoiltujen ja laskettavien ajatusten perusperiaatteita, joutuu kohtaamaan erilaisten asioiden samanlaisuuden. Tässä mielessä matematiikkaa voidaan pitää myös erilaisten samanlaisuuksien tutkimuksena ja ilmaisuna. Tosin itse olen sitä mieltä, että matematiikkaan kuuluu myös se, että tutkimme kunkin rakenteen ja struktuurin itsenäisiä ominaisuuksia. Kokonaisuus tulee toissijaisena. Se on tosin keskeinen, koska usein (kuten reaaliluvuilla) erilaiset näkökulmat kohtaavat. On tärkeä ja keskeistä kysyä, että miksi reaalilukujen numeroituvuus voidaan tavoittaa niin monella tavalla.

Lopuksi haluaisin huomauttaa, että tässä piilee tapa hahmottaa kristittyjen monen luonnon käsite. Reaaliluvut toimivat täydellisesti, sekoittamatta, erottamatta ja jakamatta, mm. topologisena avaruutena, metrisenä avaruutena, Banachin avaruutena, kuntana, ryhmänä ja joukkona. En nyt halua pilkata Jumalaa tai sanoa, että reaaliluvut ovat Kristus, mutta haluan huomauttaa, että on olemassa mielekkäitä käsitteitä, joilla on monta "luontoa". Toisaalta esimerkiksi reaaliluvut kuntana ja rationaaliluvut kuntana omaavat saman "olemuksen", koska ne ovat tietystä näkökulmasta samaa asiaa. Toisaalta ne ovat täysin itsenäisiä ja erillisiä...